В шестизначном числе первая цифра совпадает с четвертой, вторая с пятой, третья с шестой. Докажите, что это число кратно 7, 11, 13.

1. Пусть x - шестизначное число:

x = [abcdef], где: a, b, c, d, e, f - цифры.

По условию задачи:

a = d; b = e; c = f.

Тогда число x можно представить в виде суммы разрядных слагаемых следующим образом:

x = [abcabc] = 100 000a + 10 000b + 1000c + 100a + 10b + c.

2. Приведя подобные члены и вынеся общий множитель за скобки, получим:

x = 100 100a + 10 010b + 1001c; x = 1001 (100a + 10b + c).

3. Поскольку число 1001 равно произведению 7, 11 и 13, то x делится на каждое из этих чисел, что и требовалось доказать.