sin квадрат 3x+sin квадрат 4x=sin квадрат 5x+sin квадрат6x

В задании дано тригонометрическое уравнение sin² (3 * x) + sin² (4 * x) = sin² (5 * x) + sin² (6 * x). Однако, сопровождающее требование к нему отсутствует. По всей видимости, составители задания хотели решить данное уравнение. Перепишем данное уравнение в виде sin² (6 * x) - sin² (4 * x) + sin² (5 * x) - sin² (3 * x) = 0. Используя формулу сокращенного умножения (a - b) * (a + b) = a² - b² (разность квадратов), преобразуем последнее уравнение следующим образом (sin (6 * x) - sin (4 * x)) * (sin (6 * x) + sin (4 * x)) + (sin (5 * x) - sin (3 * x)) * (sin (5 * x) + sin (3 * x)) = 0. К последнему уравнению применим следующме формулы: sinα - sinβ = 2 * sin (½ * (α - β)) * cos (½ * (α + β)) (разность синусов) и sinα + sinβ = 2 * sin (½ * (α + β)) * cos (½ * (α - β)) (сумма синусов). Имеем: 2 * sin (½ * (6 * x - 4 * x)) * cos (½ * (6 * x + 4 * x)) * 2 * sin (½ * (6 * x + 4 * x)) * cos (½ * (6 * x - 4 * x)) + 2 * sin (½ * (5 * x - 3 * x)) * cos (½ * (5 * x + 3 * x)) * 2 * sin (½ * (5 * x + 3 * x)) * cos (½ * (5 * x - 3 * x)) = 0 или 2 * (sinх * 2 * cos (5 * x) * sin (5 * x) * cosх + sinх * 2 * cos (4 * x) * sin (4 * x) * cosх) = 0. Последнее уравнение равносильно уравнению 2 * sinх * cosх * (2 * sin (5 * x) * cos (5 * x) + 2 * sin (4 * x) * cos (4 * x)) = 0. К последнему уравнению трижды применим формулу sin (2 * α) = 2 * sinα * cosα (синус двойного угла). Тогда, получим: sin (2 * x) * (sin (10 * x) + sin (8 * x)) или sin (2 * x) * 2 * sin (½ * (10 * x + 8 * x)) * cos (½ * (10 * x - 8 * x)) = 0, откуда sin (2 * x) * sin (9 * x) * cosх = 0. Для того, чтобы произведение нескольких сомножителей равнялось нулю, необходимым и достаточным условием является равенство нулю хотя бы одного из сомножителей. Следовательно, рассмотрим следующие три простейших тригонометрических уравнения: sin (2 * x) = 0, sin (9 * x) = 0 и cosх = 0. Выпишем соответствующие решения этих трёх уравнений: 2 * x = π * k, 9 * x = π * m и x = 2 * π * n, где k, m и n - целые числа. Следует отметить, что при кратных к 18 m вторая серия решений в точности повторяет третью серию. Следовательно, решение данного уравнения можно оформить в виде x = k * (π/2) и x = m * (π/9), где k и m - целые числа.

Ответ: x = k * (π/2) и x = m * (π/9), где k и m - целые числа.