Два двузначных числа в сумме дают 87. В каждом из них поменяли местами цифры (число десятков стало числом единиц и наоборот) и полученные числа сложили. Какая сумма могла получиться? Укажите все возможные варианты и докажите, что других нет.

Середина числа 87 равна 87/2 = 43.5.

Значит, сумму от середины числа 87, учитывая, что числа целые, разложим как:

43 + 44 = 87.

Первое двузначное число равно 10, тогда его соседнее число в сумме равно 87 - 10 = 77.

10 + 77 = 87.

Всевозможных вариантов, таким образом, будет:

43 - 10 = 33 (от 10 до 43 будет 33 варианта чисел).

Или 77 - 44 = 33 (от 44 до 77 будет 33 варианта чисел).

Рассмотрим первые суммы:

1. 10 + 77 = 87; поменяем местами 01 + 77 = 78.

2. 11 + 76 = 87; 11 + 67 = 78.

3. 12 + 75 = 87; 21 + 57 = 78.

4. Возьмем любое другое число, например

32 + 55 = 87; 23 + 55 = 78.

5. 34 + 53 = 87; 43 + 35 = 78.

И так далее, всего 33 варианта с исходными вариантами чисел и 33 варианта, если цифры исходных чисел поменять местами.

В первом случае сумма всегда равна 87, во втором равна 78.