Помогите решить: 2sin^2x-4sinxcosx+4cos^2x=1

2sin^2 (x) - 4sin (x) cos (x) + 4cos^2 (x) = 1.

Выразим единицу через основное тригонометрическое тождество:

1 = sin^2 (x) + cos^2 (x).

Подставим в уравнение:

2sin^2 (x) - 4sin (x) cos (x) + 4cos^2 (x) = sin^2 (x) + cos^2 (x).

Приведём подобные слагаемые:

2sin^2 (x) - sin^2 (x) - 4sin (x) cos (x) + 4cos^2 (x) - cos^2 (x) = 0

sin^2 (x) - 4sin (x) cos (x) + 3cos^2 (x) = 0.

Представим выражение 4sin (x) cos (x) как [sin (x) cos (x) + 3sin (x) cos (x) ], подставим в уравнение:

sin^2 (x) - [sin (x) cos (x) + 3sin (x) cos (x) ] + 3cos^2 (x) = 0.

Раскроем скобки, учитывая смену знаков:

sin^2 (x) - sin (x) cos (x) - 3sin (x) cos (x) + 3cos^2 (x) = 0.

Вынесем за скобки общие множители sin (x) и 3cos (x):

sin (x) * [sin (x) - cos (x) ] - 3cos (x) * [sin (x) - cos (x) ] = 0.

Вынесем за скобки общий множитель [sin (x) - cos (x) ]:

[sin (x) - cos (x) ]*[sin (x) - 3cos (x) ] = 0.

Решим уравнения sin (x) - cos (x) = 0 и sin (x) - 3cos (x) = 0:

1) sin (x) - cos (x) = 0,

sin (x) = cos (x).

Разделим обе части уравнения на cos (x):

sin (x) / cos (x) = cos (x) / cos (x).

Сделаем замену sin (x) / cos (x) = tg (x):

tg (x) = 1,

x = π/4+πk.

2) sin (x) - 3cos (x) = 0,

sin (x) = 3cos (x).

Разделим обе части уравнения на cos (x):

sin (x) / cos (x) = 3cos (x) / cos (x).

tg (x) = 3.

x = arctg3 + πk.

Ответ: x1 = π/4+πk, x2 = arctg3 + πk.