3^х=-х-2/3 3*4^х+2*4^х+1+3*4^х+2<236 решить уравнения и неравенства 5*5^2 х-6*5+1< или = 0 5^2 х+5-2^2 х+10+3*5^2 х+2-2^2 х+8=0

1) 3^х = 3 ^{((-х - 2) / 3)} . Основания степени равны, значит, равны и сами степени.

х = (-х - 2) / 3

Методом пропорции: 3 х = - х - 2; 3 х + х = - 2; 4 х = - 2; х = - 2/4 = - 1/2.

Ответ: х = - 1/2.

2) Распишем составные степени:

3 * 4^х + 2 * 4 ^{(х + 1)} + 3 * 4 ^{(х + 2)} < 236.

3 * 4^х + 2 * 4^х * 4 + 3 * 4^х * 4² < 236.

3 * 4^х + 8 * 4^х + 48 * 4^х < 236.

Вынесем за скобку общий множитель 4^х:

4^х (3 + 8 + 48) < 236.

4^х * 59 < 236.

Отсюда 4^х < 236 : 59; 4^х < 4; 4^х < 4¹.

Основание степени больше 1, знак неравенства сохранится: х < 1.

Ответ: х ∈ (-∞; 1).

3) Введем новую переменную: 5 * 5^{2 х} - 6 * 5^х + 1 ⩽ 0.

Пусть 5^х = а. Получается неравенство:

5 а² - 6 а + 1 ⩽ 0.

Дана парабола, ветки вверх, решением будет промежуток, где функция меньше нуля.

Найдем корни неравенства:

5 а² - 6 а + 1 = 0.

D = b² - 4ac = 36 - 20 = 16 (√D = 4);

a₁ = (6 - 4) / 10 = 2/10 = 1/5;

a₂ = (6 + 10) / 10 = 1.

Значит, а ∈ [1/5; 1], то есть а ⩾ 1/5 и а ⩽ 1.

Вернемся к замене: 5^х ⩾ 1/5 и 5^х ⩽ 1.

5^х ⩾ 5 ^(-1) и 5^х ⩽ 5⁰.

Значит, х ⩾ - 1 и х ⩽ 0.

Ответ: х ∈ [-1; 0].

4) Перенесем степени с одинаковыми основаниями в одну сторону:

5 ^{(2 х + 5)} - 2 ^{(2 х + 10)} + 3 * 5 ^{(2 х + 2)} - 2 ^{(2 х + 8)} = 0.

5 ^{(2 х + 5)} + 3 * 5 ^{(2 х + 2)} = 2 ^{(2 х + 10)} + 2 ^{(2 х + 8)} .

Расписываем составные степени:

5^{2 х} * 5⁵ + 3 * 5^{2 х} * 5² = 2^{2 х} * 2¹⁰ + 2^{2 х} * 2⁸.

5^{2 х} * 3125 + 5^{2 х} * 75 = 2^{2 х} * 1024 + 2^{2 х} * 256.

Выносим общие множители за скобку:

5^{2 х} (3125 + 75) = 2^{2 х} (1024 + 256).

5^{2 х} * 3200 = 2^{2 х} * 1280.

Поделим уравнение на 3200:

5^{2 х} = 2^{2 х} * 1280/3200.

5^{2 х} = 2^{2 х} * 2/5.

Поделим на 2^{2 х}:

5^{2 х}/2^{2 х} = 2/5.

(5/2) ^{2 х} = 2/5.

Приведем к одинаковому основанию:

(5/2) ^{2 х} = (5/2) ^-1.

Отсюда 2 х = - 1; х = - 1/2 = - 0,5.

Ответ: - 0,5.