Докажите неравенства: a (a-3) больше 5 (a-4) a2 + b2 + 6 a - 4 b + 13 больше 0

Докажем данные неравенства с помощью выделения квадратов двучленов:

1) a (a - 3) > 5 (a - 4);

f (a) = a (a - 3) - 5 (a - 4); f (a) = a^2 - 3a - 5a + 20; f (a) = a^2 - 8a + 16 + 4; f (a) = (a - 4) ^2 + 4.

Сумма квадрата и положительного числа всегда больше нуля:

f (a) > 0.

2) a^2 + b^2 + 6a - 4b + 13 ≥ 0;

g (a, b) = a^2 + b^2 + 6a - 4b + 13; g (a, b) = (a^2 + 6a + 9) - 9 + (b^2 - 4b + 4) - 4 + 13; g (a, b) = (a + 3) ^2 + (b - 2) ^2.

Сумма квадратов всегда неотрицательна:

g (a, b) ≥ 0.

Что и требовалось доказать.