1 найдите разность между наибольшим и наименьшим решениями системы (x+6) (x-3) / 3x^2 - 2x + 7 больше или равно 0 x^2 больше или равно 25 2 найдите сумму всех целых решений неравенства (x+3) (x-2) ^2 (x+1) ^3 (x-5) ^4 больше или равно 0 3 решите неравенство (x^2 + 3x + 1) (x^2 + 3x - 3) меньше или равно 5

1) (x + 6) (x - 3) / (3x² - 2x + 7) ⩾ 0; x² ⩾ 25.

Сначала решаем каждое неравенство отдельно.

а) (x + 6) (x - 3) / (3x² - 2x + 7) ⩾ 0.

Дробь тогда больше нуля, когда числитель и знаменатель имеют равные знаки.

Рассмотрим знаменатель дроби: у = 3x² - 2x + 7, это квадратичная парабола, ветви вверх. Найдем точки пересечения параболы с осью х: у = 0; 3x² - 2x + 7 = 0; D = 4 - 84 = - 80.

D < 0, нет точек пересечения с осью х, вся парабола находится над осью х (так как ветви вверх), значит, значение данного выражения положительно при любом значении х.

Так как знаменатель положительный, значит, и числитель положительный:

(x + 6) (x - 3) ⩾ 0.

Корни неравенства - 6 и 3, знаки неравентсва: (+) - 6 (-) 3 (+).

Решение данного неравенства: (-∞; - 6] и [3; + ∞).

б) x² ⩾ 25. Преобразуем: x² - 25 ⩾ 0; (х - 5) (х + 5) ⩾ 0.

Корни неравенства - 5 и 5, знаки неравенства: (+) - 5 (-) 5 (+).

Решение данного неравенства: (-∞; - 5] и [5; + ∞).

в) Объединяем оба решения: (-∞; - 6], [3; + ∞), (-∞; - 5] и [5; + ∞).

Ответ: х принадлежит (-∞; - 6] и [5; + ∞).

Наибольшим и наименьшим решением системы будет - ∞ и + ∞, разность между ними вычислить невозможно.

2) (x + 3) (x - 2) ² (x + 1) ³ (x - 5) ⁴ ⩾ 0.

Рассмотрим все скобки. Значение скобок (x - 2) ² и (x - 5) ⁴ будут положительными (⩾ 0) при любом значении х, так как степень четная.

Получается неравенство: (x + 3) (x + 1) ³ ⩾ 0.

Корни неравенства - 3 и - 1, знаки неравенства: (+) - 3 (-) - 1 (+).

Решением неравенства будут (-∞; - 3] и [-1; + ∞).

Целых решений неравенства множество, вычислить их сумму невозможно.

3) (x² + 3x + 1) (x² + 3x - 3) ⩽ 5.

Произведем замену, пусть x² + 3x = а.

(а + 1) (а - 3) ⩽ 5.

Раскрываем скобки:

а² + а - 3 а - 3 - 5 ⩽ 0.

а² - 2 а - 8 ⩽ 0.

Рассмотрим функцию у = а² - 2 а - 8, это квадратичная парабола, ветви вверх.

Функция будет меньше нуля на промежутке, где парабола проходит под осью х. Находим точки пересечения с осью х: у = 0.

а² - 2 а - 8 = 0.

D = 4 + 32 = 36 (√D = 6);

а₁ = (2 - 6) / 2 = - 2.

а₂ = (2 + 6) / 2 = 4.

Значение функции меньше нуля на промежутке [-2; 4].

Иными словами а ⩾ - 2 и а ⩽ 4.

Возвращаемся к замене x² + 3x = а.

а ⩾ - 2; x² + 3x ⩾ - 2; x² + 3x + 2 ⩾ 0.

Парабола у = x² + 3x + 2 больше 0 там, где ветки параболы идут выше оси х.

D = 9 - 8 = 1 (√D = 1); х₁ = (-3 - 1) / 2 = - 2 и х₂ = (-3 + 1) / 2 = - 1.

Решение: (-∞; - 2] и [-1; + ∞).

а ⩽ 4; x² + 3x ⩽ 4; x² + 3x - 4 ⩽ 0.

Парабола у = x² + 3x - 4 меньше 0 там, где ветки параболы идут ниже оси х.

D = 9 + 16 = 25 (√D = 5); х₁ = (-3 - 5) / 2 = - 4 и х₂ = (-3 + 5) / 2 = 1.

Решение: [-4; 1].

Объединяем: (-∞; - 2] и [-1; + ∞) и [-4; 1].

Ответ: х принадлежит промежуткам [-4; - 2] и [-1; 1].