Докажите, что при любых значениях а и b значение дроби числитель-ab (a-b) (a+b) знаменатель - 6. Значение дроби является целым числом. Докажите

Докажем, что при любых целых a и b выражение

a * b * (a - b) * (a + b) делится на 6.

Для этого докажем, что данное выражение всегда делится на 2 и на 3.

1) Делимость на 2.

Если хотя бы одно из чисел a или b является четным, то выражение делится на 2.

Если оба числа a и b являются нечетными числами, то их разность и сумма являются четными числами. Следовательно, выражение делится на 2.

Делимость на 2 доказана.

2) Делимость на 3.

Если хотя бы одно из чисел a или b делится на 3 без остатка, то выражение делится на 3.

Рассмотрим случаи, когда и a и b не делятся на 3 без остатка.

Возможны 2 случая.

Остатки от деления на 3 чисел a и b равны или эти остатки не равны друг другу.

В первом случае имеем:

a = 3 * m + r,

b = 3 * n + r.

Тогда a - b = 3 * (m - n) делится на 3.

Во втором случае один из остатков будет равен 1, а другой 2, так как при делении на 3 с остатком, других остатков не существует.

Пусть

a = 3 * m + 1,

b = 3 * n + 2.

Тогда a + b = 3 * (m + n + 1) делится на 3.

Делимость на 3 доказана.