Докажите, что 13^2n+1 + 2*4^n при любых n принадлежащих N (натуральным) кратно 5.

Для доказательства преобразуем выражение 13^2n+1 + 2*4^n из условия задачи. Запишем второе слагаемое данного выражения в виде:

2*4^n = 2 * (2^2) ^n

Поскольку (2^2) ^n = 2^2n, можем записать

2 * (2^2) ^n = 2*2^2n = 2^ (2n+1)

Теперь запишем исходное в следующем виде

13^2n+1 + 2*4^n = 13^2n+1 + 2^ (2n+1)

Результат от возведения числа 13 в нечетную степень 2n+1 оканчивается на 3 или на 7

13^1 = 13

13^3 = 2197

13^5 = 371293

13^7 = 627485517

и т. д.

В то же время результат от возведения числа 2 в нечетную степень 2n+1 оканчивается на 2 или на 8,

причем данное число заканчивается на 2, когда результат от возведения числа 13 в эту степень оканчивается на 3

и данное число заканчивается на 8, когда результат от возведения числа 13 в эту степень оканчивается на 7

2^1 = 2

2^3 = 8

2^5 = 32

2^7 = 128

и т. д.

Сумма 13^2n+1 + 2^ (2n+1) будет всегда заканчиваться 5, поскольку 3+2 = 5 и 7+8 = 15, а число, которое заканчивается на 5 кратно 5