Пусть m - натуральное число. Найдите наибольшее возможное значение выражения (2m + 7) / (m + 2).

Прежде всего, вычислим значение данного выражения (2 * m + 7) / (m + 2), которого обозначим через а_m, при m = 1 и m = 2. Имеем: а₁ = (2 * 1 + 7) / (1 + 2) = 9/3 = 3 и а₂ = (2 * 2 + 7) / (2 + 2) = 11/4 = 2,75. Докажем, что последовательность а_m, m = 1, 2, ..., является монотонно убывающей последовательностью. Действительно, при m = 1, имеем а_m = а₁ = 3 и а_{m + 1} = а_{1 + 1} = а₂ = 2,75 < 3 = а_m, то есть, утверждение при m = 1 верно. Пусть m - любое натуральное число. Рассмотрим очевидное неравенство 18 < 21. Прибавим к обеим частям этого неравенства выражение 2 * m² + 13 * m. Тогда, получим: 2 * m² + 13 * m + 18 < 2 * m² + 13 * m + 21 или 2 * m² + 2 * 2 * m + 9 * m + 9 * 2 < 2 * m² + 2 * 3 * m + 7 * m + 7 * 3, откуда (2 * m + 9) * (m + 2) < (2 * m + 7) * (m + 3). Поскольку m - натуральное число, то (m + 2) * (m + 3) > 0. Поделим обе части последнего неравенства предыдущего пункта на (m + 2) * (m + 3). Тогда, имеем: (2 * m + 9) / (m + 3) < (2 * m + 7) / (m + 2), что перепишем в виде (2 * (m + 1) + 7) / ((m + 1) + 2) < (2 * m + 7) / (m + 2), то есть, а_{m + 1} < а_m. Что и требовалось доказать. Основываясь на вышеприведённый теоретический материал, утверждаем, что при натуральном m, наибольшее возможное значение данного выражения равно 3.

Ответ: 3.