X^4-3x^3+x^2+3x-2=0

х⁴ - 3x³ + x² + 3x - 2 = 0.

Разложим многочлен на множители по схеме Горнера.

Выписываем коэффициенты (числа перед х) : 1, - 3, 1, 3 и - 2.

Делители свободного члена (числа без х, то есть - 2) : 1, - 1, 2, - 2.

Пробуем 1: 1 * 1 + (-3) = - 2; 1 * (-2) + 1 = - 1; 1 * (-1) + 3 = 2; 1 * 2 + (-2) = 0 (подходит).

Первая скобка равна (х - 1), во вторую собираем новый многочлен с новыми коэффициентами, понижая степень на 1:

(х - 1) (х³ - 2 х² - х + 2).

Раскладываем вторую скобку аналогично.

Коэффициенты: 1, - 2, - 1 и 2.

Делители 2: 1, - 1, 2 и - 2.

Пробуем 1: 1 * 1 + (-2) = - 1; 1 * (-1) + (-1) = - 2; 1 * (-2) + 2 = 0 (подходит).

Получается х³ - 2 х² - х + 2 = (х - 1) (х² - х - 2).

Раскладываем последнюю скобку по формуле х² - х - 2 = (х - х₁) (х - х₂).

Корни (по теореме Виета) равны 2 и - 1.

Значит, весь начальный многочлен равен:

х⁴ - 3x³ + x² + 3x - 2 = (х - 1) (х - 1) (х - 2) (х + 1) = 0.

Отсюда корни уравнения равны 1, 2 и - 1.