Натуральные числа m и n, m ≠ n, таковы, что число 2013m имеет такую же последнюю цифру, как и 2013n. Выясните, какое наименьшее значение может принимать величина m + n.

1. Составим сравнение для условия задачи:

2013m ≡ 2013n (mod 10); (2010 + 3) m ≡ (2010 + 3) n (mod 10); 2010m + 3m ≡ 2010n + 3n (mod 10); 3m ≡ 3n (mod 10); 3m - 3n ≡ (mod 10); 3 (m - n) ≡ (mod 10); m - n ≡ (mod 10). (1)

2. Из сравнения (1) следует, что натуральные числа m и n оканчиваются на одну и ту же цифру. Наименьшие значения переменных, при условии, что m ≠ n, равны соответственно:

m = 11; n = 1,

а для наименьшего значения их суммы получим:

m + n = 11 + 1 = 12.

Ответ: 12.