Найти две обыкновенные не равные дроби - одну со знаменателем 8, другую со знаменателем 13, чтобы разность между большей и меньшей из них была как можно меньше?

Пусть это будут дроби с числителями n и m: n/8 - m/13.

После нахождения общего знаменателя дойдем до вычитания в числителе:

n/8 - m/13 = (n * 13 - m * 8) / 104.

Нужно минимизировать разность n * 13 - m * 8. Значение равное нулю нас не интересует. Оно возможно только при 8/8 - 13/13. Минимальная разность в числителе должна быть равна единице.

Меняем n и подбираем m:

при n = 1 и m = 1 разность равна 5;

при n = 2 и m = 3 разность равна 2 * 13 - 3 * 8 = 2;

при n = 3 и m = 5 разность равна - 1.

Поиск закончен. От знака минус избавимся перестановкой дробей:

5/13 - 3/8 = (8*5 - 3*13) / 104 = 1/104.

Ответ: 5/13, 3/8.