X^2+1/x^2+2 (x+1/x) = 6

Найдем корни уравнения.

x² + 1/x^2 + 2 * (x + 1/x) = 6;

x² + 1/x² + 2 * (x + 1/x) - 6 = 0;

Пусть x + 1/x = a, тогда:

(x + 1/x) ² = a²;

x² + 2 * x * 1/x + 1/x² = a²;

x² + 2 + 1/x² = a²;

x² + 1/x² = a² - 2;

Получаем уравнение вида:

a² - 2 + 2 * a - 6 = 0;

a² + 2 * a - 8 = 0;

D = 4 - 4 * 1 * (-8) = 4 + 32 = 36 = 6²;

a1 = (-2 + 6) / 2 = 4/2 = 2;

a2 = (-2 - 6) / 2 = - 8/2 = - 4;

Решим уравнения и найдем х.

1) x + 1/x = 2;

x не равен 0.

x * x + 1/x * x - 2 * x = 0;

x² - 2 * x + 1 = 0;

(x - 1) ² = 0;

x - 1 = 0;

x = 1;

2) x + 1/x = - 4;

x не равен 0.

x * x + 1/x + 4 * x = 0;

x² + 4 * x + 1 = 0;

D = 4² - 4 * 1 * 1 = 16 - 4 = 12;

x1 = (-4 + √12) / 2 = (-4 + 2 * √3) / 2 = - 2 + √3;

x2 = - 2 - √3;

Ответ: х = 1, х = - 2 + √3 и х = - 2 - √3.