Сколько целых чисел удовлетворяют неравенству x^3>=x^6 + 8/9

Как известно, при возведении степени в степень основание степени остаётся без изменения, а показатели степеней перемножаются. Имеем: х⁶ = х³ ^* ² = (х³) ². Введём новую переменную у = х³. тогда данное неравенство примет вид: у ≥ у² + 8/9 или 9 * у ≥ 9 * у² + 8, откуда 9 * у² - 9 * у + 8 ≤ 0. Левая часть полученного неравенства является квадратным трёхчленом. Используя формулу сокращенного умножения (a - b) ² = a² - 2 * a * b + b² (квадрат разности), выделим полный квадрат квадратного трёхчлена 9 * у² - 9 * у + 8. Имеем: 9 * у² - 9 * у + 8 = 9 * (у² - у) + 8 = 9 * (у² - 2 * у * ½ + (½) ² - (½) ²) + 8 = 9 * (у - ½) ² - 9 * ¼ + 8 = 9 * (у - ½) ² + (-9 + 32) / 4 = 9 * (у - ½) ² + 23/4. Для любого а ∈ (-∞; + ∞) справедливо неравенство а² ≥ 0. Поэтому, 9 * у² - 9 * у + 8 = 9 * (у - ½) ² + 23/4 ≥ 0 + 23/4 > 0. Это означает, что данное неравенство не имеет решений. Следовательно, оно не имеет ни одного целого решения.

Ответ: 0.