2^x+3+2^x+2+2^x+1=7^x+7^x-1

Решим уравнение:

2^{x + 3} + 2^{x + 2} + 2^{x + 1} = 7^x + 7^{x - 1}.

Рассмотрим левую часть: воспользуемся свойством степеней a^x * b^x = (ab) ^x и вынесем за скобки общий множитель 2^{х + 1}:

2^{x + 3} + 2^{x + 2} + 2^{x + 1} = 2^{x + 1} (2² + 2¹ + 1) = 2^{x + 1} (4 + 2 + 1) = 7 * 2^{x + 1}.

Рассмотрим правую часть: воспользуемся свойством степеней a^x * b^x = (ab) ^x и вынесем за скобки общий множитель 7^{х - 1}:

7^x + 7^{x - 1} = 7^{x - 1} (7 + 1) = 8 * 7^{x - 1} = 2³ * 7^{x - 1}.

Подставим в исходное уравнение:

7 * 2^{x + 1} = 2³ * 7^{x - 1},

Перенесем в левую часть множители с основанием 2, а в правую - множители с основанием 7:

2^{x + 1} / 2³ = 7^{x - 1} / 7,

2^{х + 1 - 3} = 7^{x - 1 - 1},

2^{х - 2} = 7^{x - 2},

перенесем все в левую часть:

2^{х - 2} /7^{x - 2} = 1.

Воспользуемся свойством степеней: а^с * b^c = (ab) ^c:

(2/7) ^{x - 2} = 1,

(2/7) ^{x - 2} = (2/7) ⁰.

Т. к. основания равны, то и степени должны быть равны:

х - 2 = 0,

х = 2.

Ответ: 2.