2^3 х-8*2^-3 х=6 (2^х-2*2^-х) + 1

1. Обозначим:

2^x = u; 2 * 2^ (-x) = v.

Тогда получим:

uv = 2; u^3 = 2^3x; v^3 = 8 * 2^ (-3x); 2^3 х - 8 * 2^ (-3 х) = 6 (2^х - 2 * 2^ (-х)) + 1; u^3 - v^3 = 6 (u - v) + 1; (u - v) (u^2 + uv + v^2) - 6 (u - v) = 1; (u - v) (u^2 + 2 + v^2 - 6) = 1; (u - v) (u^2 - 4 + v^2) = 1; (u - v) (u^2 - 2uv + v^2) = 1; (u - v) (u - v) ^2 = 1; (u - v) ^3 = 1; u - v = 1.

2. Обратная замена:

2^x - 2 * 2^ (-x) = 1; 2^2x - 2^x - 2 = 0; u^2 - u - 2 = 0; D = 1^2 + 4 * 2 = 9; u = (1 ± 3) / 2; u1 = - 1; u2 = 2;

1) 2^x = - 1 < 0 - нет решения;

2) 2^x = 2;

x = 1.

Ответ: 1.