6 х^4-17 х^3+17 х^2-17 х+6=0

Преобразуем выражение, поделим все уравнение на х²:

6 х⁴/х² - 17 х³/х² + 17 х ²/х² - 17 х/х² + 6/х² = 0.

6 х² - 17 х + 17 - 17/х + 6/х² = 0.

Разложим число 17 на 12 и 5, поменяем местами одночлены:

6 х² + 12 + 6/х² - 17 х - 17/х + 5 = 0.

6 (х² + 2 + 1/х²) - 17 (х + 1/х) + 5 = 0.

Введем новую переменную, пусть х + 1/х = а.

Тогда а² = (х + 1/х) ² = х² + 2 * x * 1/x + (1/x) ² = х² + 2 + 1/x².

Делаем замену:

6 а² - 17 а + 5 = 0.

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

a = 6; b = - 17; c = 5;

D = b² - 4ac; D = 289 - 120 = 169 (√D = 13);

x = (-b ± √D) / 2a;

а₁ = (17 - 13) / 12 = 4/12 = 1/3.

а₂ = (17 + 13) / 12 = 30/12 = 5/2 = 2,5.

Вернемся к замене.

х + 1/х = а.

1) х + 1/х = 1/3.

3 х + 3/х - 1 = 0.

(3 х² - х + 3) / х = 0.

ОДЗ: х не равен 0.

3 х² - х + 3 = 0.

D = 1 - 36 = - 35 (нет корней).

2) х + 1/х = 2,5.

(х² - 2,5 х + 1) / х = 0.

х² - 2,5 х + 1 = 0.

D = 6,25 - 4 = 2,25 (√D = 1,5).

х₁ = (2,5 - 1,5) / 2 = 1/2 = 0,5.

х₂ = (2,5 + 1,5) / 2 = 4/2 = 2.

Ответ: корни уравнения равны 0,5 и 2.