Для игры в волейбол предполагается выделить прямоугольный участок земли площадью 720 м^2, огородить его металлической сеткой высотой 3 м и разделить на две прямоугольные площадки сеткой высотой 1,5 м. При каких размерах участка стоимость изгороди окажется наименьшей, если стоимость 1 м^2 трехметровой сетки такая же, как 1 м^2 полутораметровой?

Общая площадь участка для волейбола будет равняться: S = a * b = 720, откуда а = 720 / b.

Площадь 3-метровой изгороди будет равняться S3 = 3 * P = 3 * 2 * (a + b) = 6 * (a + b).

Площадь 1,5-метровой изгороди будет равна S1,5 = 1,5 * b.

Общая стоимость изгороди будет пропорциональна её общей площади f, т. е.:

f = S3 + S1,5 = 6 * (а + b) + 1,5 b = 6 * (720 / b + b) + 1,5 * b = 4320 / b + 7,5 * b = f (b).

Найдём производную f (b) и критические точки:

f' (b) = - 4320 / b² + 7,5.

f' (b) = 0, - 4320 / b² + 7,5 = 0, b = ± 24.

Минимум f (b) достигается в точке b = 24 и равен f (24) = 360 м².

а = 720 / 24 = 30 м.

Ответ: а = 30 м, b = 24 м.