2x^4+5x^3+x^2+5x+2=0

2 х⁴ + 5 х³ + х² + 5 х + 2 = 0.

Данное уравнение является возвратным так, как х = 0 не является решением возвратного уравнения, то можно разделить обе части уравнения на х² и сгруппировать слагаемые:

2 х² + 5 х + 1 + 5/х + 2/х² = 0;

2 * (х² + 1/х²) + 5 * (х + 1/х) + 1 = 0.

Введем обозначение х + 1/х = у, тогда х² + 1/х² = у² - 2, получим:

2 * (у² - 2) + 5 у + 1 = 0;

2 у² + 5 у - 3 = 0.

D = 5² - 4 * 2 * (-3) = 25 + 24 = 49.

y_1,2 = (-5 ± √49) / 4;

у₁ = - 3,

у₂ = 1/2.

Итак,

х + 1/х = - 3;

х² + 3 х + 1 = 0.

D = 3² - 4 * 1 * 1 = 9 - 4 = 5.

x_1,2 = (-3 ± √5) / 2.

х + 1/х = 1/2;

2 х² - х + 2 = 0.

D = (-1) ² - 4 * 2 * 2 = 1 - 16 = - 15 не имеет действительных корней так, как D<0.

Ответ: х_1,2 = (-3 ± √5) / 2 - корни уравнения.