X^2-3 / (x-2) (x-4) + x/2x-4 = (2,5x-6) / (x^2-6x+8)

Чтобы решить уравнение содержащее дробь, найдем общий знаменатель:

(x² - 3) / (x - 2) (x - 4) + x / (2x - 4) = (2,5x - 6) / (x² - 6x + 8);

Решим знаменатель третьей дроби, как квадратное уравнение:

x² - 6x + 8 = 0;

Вычислим дискриминант:

D = b² - 4ac = ( - 6) ² - 4 * 1 * 8 = 36 - 32 = 4;

D › 0, значит:

х1 = ( - b - √D) / 2a = (6 - √4) / 2 * 1 = (6 - 2) / 2 = 4 / 2 = 2;

х2 = ( - b + √D) / 2a = (6 + √4) / 2 * 1 = (6 + 2) / 2 = 8 / 2 = 4;

Представим квадратное уравнение в виде произведения двух линейных множителей:

(х - 2) (х - 4);

Вынесем общий множитель в знаменателе второй дроби:

(2x - 4) = 2 (х - 2);

Подставим преобразованные знаменатели:

(x² - 3) / (x - 2) (x - 4) + x/2 (x - 2) = (2,5x - 6) / (х - 2) (х - 4);

(x² - 3) / (x - 2) (x - 4) + x/2 (x - 2) - (2,5x - 6) / (х - 2) (х - 4) = 0;

Общий знаменатель - 2 (х - 2) (х - 4);

(x² - 3) / (x - 2) (x - 4) + x/2 (x - 2) - (2,5x - 6) / (х - 2) (х - 4) = 0;

(2 (x² - 3) + x (x - 4) - 2 (2,5x - 6)) / 2 (х - 2) (х - 4) = 0;

Найдем ОДЗ:

(х - 2) (х - 4) ≠ 0;

х - 2 ≠ 0;

х1 ≠ 2;

х - 4 ≠ 0;

х2 ≠ 4;

Дробь равна нулю, если числитель равен нулю:

2 (x² - 3) + x (x - 4) - 2 (2,5x - 6) = 0;

2x² + 6 + x² - 4x - 5x + 12 = 0;

3x² - 9x + 6 = 0;

Вычислим дискриминант:

D = b² - 4ac = ( - 9) ² - 4 * 3 * 6 = 81 - 72 = 9;

D › 0, значит:

х1 = ( - b - √D) / 2a = (9 - √9) / 2 * 3 = (9 - 3) / 6 = 6 / 6 = 1;

х2 = ( - b + √D) / 2a = (9 + √9) / 2 * 3 = (9 + 3) / 6 = 12 / 6 = 2, не подходит по ОДЗ;

Ответ: х = 1.