Найдите корни уравнения sin 10x sin 2x=sin 8x sin 4x, принадлежащие промежутку [-п/6; п/2]

Преобразуем произведение синусов в разность:

1/2 (cos (10x - 2x) - cos (10x + 2x)) = 1/2 (cos (8x - 4x) - cos (8x + 4x)),

cos8x - cos12x = cos4x - cos12x → cos8x - cos4x = 0.

Теперь разность косинусов преобразуем в произведение:

- 2sin ((8x - 4x) / 2) * sin ((8x + 4x) / 2) = 0 → sin 2x * sin 6x = 0.

Данное произведение равно нулю, если: sin 2x = 0 или sin 6x = 0.

Найдем корни каждого уравнения.

Если sin2x = 0 → 2x = πn → x = π/2n, из условия следует что:

- π/6 ≤ π/2n ≤ π/2 → - π ≤ 3πn ≤ 3π, сократим на π и получим что: - 1/3 ≤ n ≤ 1.

При n = 0 ⇒ x = 0, при n = 1 ⇒ x = π/2.

Если sin6x = 0 → 6x = πk → x = π/6k, из условия следует что:

- π/6 ≤ π/6k ≤ π/2 → - π ≤ πk ≤ 3π, сократим на π и получим что: - 1 ≤ k ≤ 3.

Если k = - 1, то x = - π/6,

при k = 0 → x = 0,

при k = 1 → x = π/6,

при k = 2 → x = π/3,

при k = 3 → x = π/2.

Ответ: - π/6; 0; π/6; π/3; π/2