Директор школы хочет в дополнение к уже имеющимся учителям нанять на работу ещё некоторое количество учителей. Если бы он дополнительно нанял 10 учителей, то количество учеников школы на одного учителя уменьшилось бы на 5. А если бы директор нанял на работу 20 новых учителей, количество учеников на одного учителя уменьшилось бы на 8. Сколько учеников и сколько учителей в этой школе?

Пусть в школе учатся х учеников и работают у учителей.

На одного учителя приходится х/у учеников.

Если учителей станет на 10 больше, то на 1 учителя будет приходиться х / (у + 10) учеников.

Если учителей станет на 20 больше, то на 1 учителя будет приходиться х / (у + 20) учеников

Составляем систему уравнений:

х/у - х / (у + 10) = 5;

х/у - х / (у + 20) = 8.

х * (у + 10) - х * y - 5 * у * (у + 10) = 0;

х * (у + 20) - х * y - 8 * у * (у + 20) = 0.

10 * х - 5 у² - 50 * у = 0;

20 * х - 8 у² - 160 * у = 0;

- 8 у² - 160 * у + 10 * у² + 100 * y = 0;

2 * y² - 60 * y = 0;

у = 30 чел. - количество учителей.

х = (5 * у² + 50 * у) / 10;

х = (5 * 900 + 50 * 30) / 10;

х = 600 чел. - количество учеников.

Ответ: в школе учится 600 учеников и работают 30 учителей.