Решите уравнение 2cos2x+4cos (3 П/2-x) + 1=0

Воспользуемся формулами приведения:

2cos2x + 4 cos (3π/2 - x) + 1 = 0;

cos (3π/2 - x);

- функция меняется на противоположную;

- угол (3π/2 - x) находится в третьей четверти, косинус отрицательный;

cos (3π/2 - x) = - sin;

2cos2x = - cosх - 2;

Применим формулу двойного аргумента тригонометрической функции:

cos2x = 1 - 2 sin²x;

2 (1 - 2 sin²x) + 4 * ( - sin) + 1 = 0;

2 - 4 sin²x - 4sin + 1 = 0;

- 4 sin²x - 4sin + 3 = 0;

4 sin²x + 4sin - 3 = 0;

Выполним замену sinx = с, |с| ≤ 1:

4 с² + 4 с - 3 = 0;

Вычислим дискриминант:

D = b² - 4ac = (4) ² - 4 * 4 * ( - 3) = 16 + 48 = 64;

D › 0, значит:

с1 = ( - b - √D) / 2a = ( - 4 - √64) / 2 * 4 = ( - 4 - 8) / 8 = - 12 / 8 = - 1 4/8 = - 1 1/2, не подходит по замене;

с2 = ( - b + √D) / 2a = ( - 4 + √64) / 2 * 4 = ( - 4 + 8) / 8 = 4 / 8 = 1/2;

Тогда, если с2 = 1/2, то:

sinx = 1/2;

x = ( - 1) ⁿ arcsin (1/2) + πn, n ∈ Z;

x = ( - 1) ⁿ π/6 + πn, n ∈ Z;

Ответ: x = ( - 1) ⁿ π/6 + πn, n ∈ Z.