Рассмотрим квадрат ABCD. Пусть L - точка на диагонали AC. Рассмотрим два квадрата APLQ и CMLN, содержащиеся в исходном квадрате, с общей вершиной L, где точка P лежит на стороне AB. Пусть O - центр второго квадрата CMLN. Найдите угол PDO. Ответ дайте в градусах.

Возьмем квадрат ABCD со стороной a:

|AB| = |BC| = |CD| = |AD| = a;

По условиям задачи, AL является диагональю квадрата APLQ, сторону которого обозначим через x:

|AP| = |PL| = |LQ| = |AQ| = x;

P ∈ AB;

Q ∈ AD;

и CL является диагональю квадрата CMLN, сторона которого равна (a - x):

|CM| = |ML| = |LN| = |CL| = (a - x);

M ∈ CD;

N ∈ BC;

В задаче требуется выразить в градусах величину угла ∠ PDO.

Вычисление сторон ∆ PDO

Проведем из середины диагонали CL, точки О, перпендикуляр OK к стороне CD. В ∆OKD:

|OK| = ½ * |CN| = ½ * (a - x); |KD| = ½ * |CM| + |MD| = ½ * (a - x) + x = ½ * (a + x); |OD|^2 = |OK|^2 + |KD|^2 = ¼ * (a - x) ^2 + ¼ * (a + x) ^2 = ½ * (a^2 + x^2);

В ∆PAD:

|PD|^2 = |AD|^2 + |AP|^2 = a^2 + x^2;

|PD| = √ (a^2 + x^2);

Проведем из точки О перпендикуляр OF к стороне AD. Точку пересечение OF с прямой PM, проходящей через точку P параллельно AD, обозначим буквой G. Для прямоугольного ∆OGP:

|OG| = ½ * |CN| = ½ * (a - x); |PG| = |AF| = |AQ| + ½ * |QD| = x + ½ * (a - x) = ½ * (a + x); |OP|^2 = |OG|^2 + |PG|^2 = ¼ * (a - x) ^2 + ¼ * (a + x) ^2 = ½ * (a^2 + x^2) Вычисление ∠PDO

Таким образом, в треугольнике PDO:

|OD| = |OP| = √ (½ * (a^2 + x^2))

и, соответственно, ∆PDO - равнобедренный.

Угол PDO при основании PD равнобедренного ∆PDO можно вычислить из соотношения:

|OD| * cos (∠PDO) = |PD| / 2;

cos (∠PDO) = ½ * |PD| / |OD|;

cos (∠PDO) = ½ * (√ (x^2 + a^2)) / (√ (½) * √ (a^2 + x^2)) = √2 / 2;

cos (∠PDO) = √2 / 2;

Зная, что косинус 45° равен √2 / 2, получаем решение задачи:

∠PDO = 45°

Обозначим сторону квадрата APLQ как a, сторону квадрата CMLN как b;

Опустим перпендикуляры из точки О на стороны LN и CN и получим точки E и F;

Треугольники OPE и ODF равны по двум сторонам и прямому углу между ними: OE = OF = b/2; EP = DF = a + b/2;

Тогда угол ∠OPE = ∠ODF и PO = OD;

Треугольник POD равнобедренный и углы OPD и ODP равны между собой;

В прямоугольном треугольнике PND ∠NPD + ∠NDP = 180 - 90 = 90°;

Так как ∠OPE = ∠ODF сумма ∠OPD + ∠ODP = ∠OPE + ∠NPD + ∠NDP - ∠ODF = ∠NPD + ∠NDP = 90°;

Так как углы OPD и ODP равны между собой, то ∠ODP = 90° / 2 = 45°;