Иследовать функцию f (x) = х в кубе - 3 х в квадрате+4

Исследование функции предполагает под собой поиск ее экстремумов, промежутков возрастания и убывания, точек перегиба.

Начнем с экстремумов. В них производная функции равна 0.

f (x) = x ^ 3 - 3x ^ 2 + 4

f' (x) = 3x ^ 2 - 6x = 3x (x - 2) = 0.

Сразу очевидны нули производной: x1 = 0; x = 2.

Чтобы определить промежутки возрастания и убывания, подставим числа из промежутков [-INF; 0) u (0; 2) u (2; INF) в производную.

f' (-1) > 0, f (1) 0.

То есть, на промежутке [-INF; 0) функция возрастает, в точке 0 у нее локальный максимум, потом она убывает, в точке 2 имеет локальный минимум и дальше возрастает.

Точки перегиба получаются, когда вторая производная равна 0.

f" (x) = 6x - 6. То есть, точка перегиба имеет координату 1 по ОХ.