1 * (1!) + 2 * (2!) + 3 * (3!) + ... + n * (n!) =

Решаем методом математической индукции.

1. Сначала проверим, чему будет равняться выражение для n=1.

1*1! = 1 = (n + 1) ! - 1

Теперь проверим для n=2 - получим ответ 5 = (n + 1) ! - 1

2. Предположим, что 1 * (1!) + 2 * (2!) + 3 * (3!) + ... + n * (n!) = (n+1) !-1 верно для числа n, тогда для числа n+1:

1 * (1!) + 2 * (2!) + 3 * (3!) + ... + n * (n!) + (n+1) * (n+1) ! =

= (n+1) !-1 + (n+1) * (n+1) ! =

= (1+n+1) * (n+1) ! - 1 =

= (n+2) * (n+1) ! - 1 = (n+2) ! - 1

3. Видим, что предположение выполняется для любого числа n+1, значит, для всякого натурального числа верно равенство: 1 * (1!) + 2 * (2!) + 3 * (3!) + ... + n * (n!) = (n+1) !-1