При каких значениях q решениями неравенства х^2 + 4 х+q больше 0 являются все действительные числа?

1. График функции - парабола, а ветви направлены вверх, т. к. коэффициент при x^2 - положительное число. Значит, неравенство х^2 + 4 х + q > 0 верно при всех значениях x, если парабола не имеет общих точек с осью абсцисс, т. е. данная квадратичная функция не имеет корней. А это будет в том случае, если дискриминант меньше нуля.

2. Поэтому вычисляем дискриминант и решаем неравенство:

D = b^2 - 4ac; D = 4^2 - 4 * 1 * q = 16 - 4q; D < 0; 16 - 4q <0; 4q> 16; q > 16/4; q > 4; q ∈ (4; ∞).

Ответ: (4; ∞).