2 х^3+5 х^2+х-2<0 Абсолютная величина наибольшего отрицательного решения

2 х ³ + 5 х ² + х - 2 < 0.

Разложим правую часть неравенства на линейные множители.

Тривиальные корни уравнения x_1,2 = - 1, - 2.

Найдём разложение, воспользовавшись методом неопределённых коэффициентов.

(x + 1) (x + 2) = x ² + 3 x + 2.

Этот квадратный трёхчлен должен без остатка делить исходный кубический многочлен:

2 х ³ + 5 х ² + х - 2 = (x ² + 3 x + 2) (a x + b)

при некоторых значениях a и b.

Это тождество и оно должно быть верно при любых значениях x,

При x = 0 получим:

-2 = 2 b;

b = - 1;

Коэффициенты при x ³ в обеих частях равенства должны быть равны.

a = 2.

Получили следующее неравенство:

2 х ³ + 5 х ² + х - 2 = (x + 1) (x + 2) (2 x - 1) < 0.

По условию x < 0, поэтому третий множитель всегда отрицателен.

Следовательно, для выполнения неравенства произведение первых двух множителей должно быть больше нуля:

(x + 1) (x + 2) > 0.

Так как x < 0, то при x < - 2 оба множителя отрицательны и, следовательно, наибольшее по модулю отрицательное решение:

x < - 2.