7sin²5x-4sin10x+cos²5x=0

Найдем корни уравнения 7sin²5x - 4sin10x + cos²5x = 0 используя тригонометрическое тождество: sin2x = 2sinx * cosx → sin10x = 2sin5x * cos5x.

Разделим все члены уравнения на sin²5x:

7sin²5x/sin²5x - 4sin10x/sin²5x + cos²5x/sin²5x = 7 - 8sin5x cos5x/sin²5x + ctg²5x =

= 7 - 8ctg5x + ctg²5x = 0. Сделав замену ctg5x = z получим квадратное уравнение:

Z² - 8z + 7 = 0;

D = (-8) ² - 4 * 1 * 7 = 64 - 28 = 36 = (±6) ²; z₁ = (8 - 6) / 2 = 1; z₂ = (8 + 6) / 2 = 7;

При z₁ = 1 → ctg5x = 1 → 5x = 3/4π + πk, k∈Z; x = 3/20π + πk/5, k∈Z;

При z₂ = 1 → ctg5x = 7 → 5x = arcctg7 + πk, k∈Z; x = 1/5arcctg7 + πk/5, k∈Z.