Дано натуральное число a. Уравнение t^2+at-1=0 имеет корни x и y. Докажите, что x^3+у^3 целое число, кратное a. Выразите это число через а.

Сначала рассмотрим уравнение: t^2 + а * t - 1 = 0, и выразим корни х и у через параметры уравнения, используя теорему Виета:

х + у = - а; х * у = - 1.

х^3 + у^3 = (х + у) * (х^2 + х * у + у^2) = (х + у) * [ (х + у) ^2 - х * у].

После того, как мы выразили искомое выражение через (х + у) и х * у и в итоге - через параметры уравнения, запишем общий результат.

х^3 + у^3 = (-а) * [ (-а) ^2 - (-1] = (-а) * (а^2 + 1). (1)

В итоге получили, что сумма кубов корней уравнения кратна числу а, а общий вид суммы выражен формулой (1).