Сократить: Числитель: 18*12 в степени 3n-1 Знаменатель: 9 в степени 2n+1 * 2 в степени 4n-3

Преобразуем и числитель, и знаменатель, выделяя в числах степени чисел 2 и 3:

18 * 12^ (3n - 1) / 9^ (2n + 1) * 2^ (4n - 3) =

2 * 3^2 * [2^2 * 3]^ (3n - 1) / [3^2 * (2n + 1) * 2^ (4n - 3) =

2^ (1 + 6n - 2) * 3^ (2 + 3n - 1) / 2^ (4n - 3) * 3^2 * (2n + 1) =

2^ (6n - 1) * 3^ (3 * n + 1) / 2^ (4 * n - 3) * 3^2 * (2n + 1) =

2^ (6 * n - 1 - 4 * n + 3) * 3^ (3 * n + 1 - 4 * n - 2) =

2^ (2 * n + 2) * 3^ (-n - 1) = 2^2 * (n + 1) / 3^ (n + 1) =

(4/3) ^ (n + 1).

Здесь используются следующие свойства действия со степенями:

a^k * a^l = a^ (k + l), a^k/a^l = a^ (k - l).