2/1*3+2/3*5+2/5*7 + ... + 2/99*101?

Расставим скобки:

2 / (1 * 3) + 2 / (3 * 5) + 2 / (5 * 7) + ... + 2 / (99 * 101).

Заметим, что 3 - 1 = 2, 5 - 3 = 2, 7 - 5 = 2, ..., 101 - 99 = 2; (1 * 3), (3 * 5), ..., (99 * 101) это общие делители.

Значит, каждую дробь в сумме можно представить в виде:

2 / (1 * 3) = 1/1 - 1/3,

2 / (3 * 5) = 1/3 - 1/5,

2 / (5 * 7) = 1/5 - 1/7.

И так далее.

2 / (99 * 101) = 1/99 - 1/101.

Тогда перепишем сумму и найдем результат.

1/1 - 1/3 + 1/3 - 1/5 + 1/5 - 1/7 + ... + 1/99 - 1/101 = 1 - 1/101 = 100/101.

Найдем значение выражения 2 / (1 * 3) + 2 / (3 * 5) + 2 / (5 * 7) + ... + 2 / (99 * 101)

Из выражения получаем:

2 / (1 * 3) = 1/1 - 1/3; 2 / (3 * 5) = 1/3 - 1/5; 2 / (5 * 7) = 1/5 - 1/7; 2 / (99 * 101) = 1/99 - 1/101.

Тогда, подставляя найденные значения в виде дробей в изначальное выражение, то получим:

2 / (1 * 3) + 2 / (3 * 5) + 2 / (5 * 7) + ... + 2 / (99 * 101) = (1/1 - 1/3) + (1/3 - 1/5) + (1/5 - 1/7) + ... + (1/99 - 1/101);

Сначала раскрываем скобки. Если перед скобками стоит знак минус, то при ее раскрытии, знаки значений меняются на противоположный знак. Если же перед скобками стоит знак плюс, то при ее раскрытии знаки значений остаются без изменений. То есть получаем:

(1/1 - 1/3) + (1/3 - 1/5) + (1/5 - 1/7) + ... + (1/99 - 1/101) = 1/1 - 1/3 + 1/3 - 1/5 + 1/5 - 1/7 + ... + 1/99 - 1/101;

Сгруппируем подобные значения и вычислим его значение

1/1 - 1/3 + 1/3 - 1/5 + 1/5 - 1/7 + ... + 1/99 - 1/101 = 1/1 + (1/3 - 1/3) + (1/5 - 1/5) + (1/7 - 1/7) + ... + (1/99 - 1/99) - 1/101;

Сначала в порядке очереди находим значение выражения в скобках, затем вычисляем умножение или деление, потом проводятся действия сложения или вычитания. То есть получаем:

1/1 + (1/3 - 1/3) + (1/5 - 1/5) + (1/7 - 1/7) + ... + (1/99 - 1/99) - 1/101 = 1/1 + 0 + 0 + 0 ... + 0 - 1/101 = 1/1 - 1/101;

Приведем выражение к общей дроби. Сначала, общий знаменатель делим на каждый знаменатель дроби и умножаем на его числитель. Затем полученную сумму из первой дроби вычитаем полученную сумму из второй дроби. Разность записываем в числителе, а в знаменателе будет общий знаменатель. То есть получаем:

1/1 - 1/101 = (1 * 101 - 1 * 1) / (1 * 101) = (101 - 1) / (1 * 101) = 100 / (1 * 101) = 100/101;

В итоге получили, что выражение 2 / (1 * 3) + 2 / (3 * 5) + 2 / (5 * 7) + ... + 2 / (99 * 101) = 100/101.