Площадь прямоугольного треугольника равна 210 см^2 гипртенуза равна 37 см найти периметр через систему

Пусть один катет прямоугольного треугольника равен х см, а второй катет равен у см. Площадь прямоугольного треугольника равен половине произведения его катетов, т. е (1/2 * ху) см^2 или 219 см^2. По теореме Пифагора сумма квадратов катетов (х^2 + у^2) равна квадрату гипотенузы 37^2. Составим систему уравнений и решим её.

1/2 * ху = 210; х^2 + у^2 = 37^2 - выразим из первого уравнения х через у;

ху = 210 * 2;

ху = 420;

х = 420/у - подставим во второе уравнение;

(420/у) ^2 + у^2 = 37^2 - приведем к общему знаменателю у^2;

420^2 / у^2 + у^4 / у^2 = (37^2 * у^2) / у^2;

О. Д. З. у ≠ 0;

420^2 + у^4 - 37^2 * у^2 = 0;

у^4 - 1369 у^2 + 176400 = 0;

введём новую переменную у^2 = с;

с^2 - 1369 с + 176400 = 0;

D = b^2 - 4ac;

D = ( - 1369) ^2 - 4 * 1 * 176400 = 1874161 - 705600 = 1168561; √D = 1081;

x = ( - b ± √D) / (2a);

с1 = (1369 + 1081) / 2 = 1225;

с2 = (1369 - 1081) / 2 = 144.

Выполним обратную подстановку:

у^2 = 1225; у1 = 35; у2 = - 35 - длина не может быть отрицательная;

у^2 = 144; у1 = 12; у2 = - 12 - не может быть отрицательная;

х1 = 420/у1 = 420/35 = 12;

х2 = 429/у2 = 420/12 = 35.

Длины катетов треугольника равны 12 см и 35 см.

Найдем периметр. Периметр - это сумма длин всех его сторон.

Р = 12 + 35 + 37 = 84 (см)

Ответ. 84 см.