Укажите наименьшее из чисел: (1/32) ^4 (1/8) ^7 (1/32) ^4 16^ (1/24) 64^ (1/42)

Преобразуем числа, воспользовавшись свойствами степенных выражений:

(1/32) ⁴ = 1 / (2⁵) ⁴ = 1 / 2^{5 * 4} = 1/2²⁰;

(1/8) ⁷ = (1 / (2³) ⁴) = 1/2^{3 * 4} = 1/2¹²;

16^1/24 = 2^4/24 = 2^1/6 = ⁶√‾2;

64^1/42 = 2^6/24 = 2^1/4 = ⁴√‾2;

Вполне очевидно, что:

1/2²⁰ < 1/2¹²;

⁶√‾2 < ⁴√‾2;

Остается сравнить 1/2²⁰ и ⁶√‾2.

Вполне очевидно, что 1/2 < 1, а 2 в 20-й степени число большое. Чем больше знаменатель в дроби с единицей в числителе, тем ближе такое число к нулю.

2 в степени 1/6 будет меньше 2-х, но больше единицы, так как:

2¹ = 2;

2⁰ = 1;

И чем больше знаменатель в степени, тем ближе число к 2⁰ = 1.

Следовательно, наименьшим числом является 1/2²⁰, соответствующее числу (1/32) ⁴.

Рассуждать можно было и проще, приведя все числа к основанию 2 и сравнив степени. Чем степень меньше, тем меньше будет число в этой степени:

(1/32) ⁴ = 1 / (2⁵) ⁴ = 1 / 2^{5 * 4} = 1/2²⁰ = 2^-20;

(1/8) ⁷ = (1 / (2³) ⁴) = 1/2^{3 * 4} = 1/2¹² = 2^-12;

16^1/24 = 2^4/24 = 2^1/6;

64^1/42 = 2^6/24 = 2^1/4;

-20 < - 12 < 1/6 < 1/4;

Следовательно:

2^-20 < 2^-12 < 2^1/6 < 2^1/4;

Значит:

(1/32) ⁴ < (1/8) ⁷ < 16^1/24 < 64^1/42.

То есть наименьшее (1/32) ⁴.