докажите что для любого натурального n значение выражения (n-4) (n+39) - (n-3) (n+31) кратно числу 7

Преобразуем исходное выражение (n - 4) * (n + 39) - (n - 3) * (n + 31), раскрыв в нем скобки, а затем в полученном выражении приведем подобные слагаемые:

(n - 4) * (n + 39) - (n - 3) * (n + 31) = n * n + n * 39 - 4 * n - 4 * 39 - (n * n + 31 * n - 3 * n - 3 * 31) = n^2 + 39n - 4n - 156 - (n^2 + 28 * n - 93) = n^2 + 35n - 156 - n^2 - 28n + 93 = 7n - 63 = 7 * (n - 9).

Так как независимо от значения числа n исходное выражение можно представить в виде произведения двух сомножителей, один из которых равен 7, то исходное выражение делится на 7 для любого натурального n.