Мат. индукция: 1. Докажите, что для любого натурального значения n справедливо утверждение (19^n-1) делится на 18.2. Докажите, что для любого натурального значения n справедливо утверждение (6 (в степени 2n+1) + 1) делится на 7

1) а) при n = 1 выражение (19^n - 1) = (19 - 1) = 18, то есть делится на 18.

б) примем, что при n = к выражение (19^к - 1) кратно числу 18.

в) докажем, что при n = к + 1 выражение [19^ (к + 1) - 1] кратно 18. Вычтем [19^ (к + 1) - 1] - (19^к - 1) = 19^к * (19 - 1) = 19^к * 18. Доказано.

2) Проверим 6^ (2n + 1) + 1 при n = 1, 6^3 + 1 = 216 + 1 = 217 кратно 7.

Пусть 6^ (2 к + 1) кратно 7.

Докажем, что 6^[2 * (к + 1) + 1] кратно 7.

6^[2 * (к + 1) + 1] - 6^ (2 к + 1) - 1 = 6 ^ (2 к + 1) * (6^2 - 1) = 6 ^ (2 к + 1) * 35 кратно 7. Доказано.