Вычислить рационально 1+1/2+1/4 + 1/8 + ... + 1/1024, где 1/4=1/2-1/4, 1/8=1/4-1/8, ...

1+1/2+1/4 + 1/8 + ... + 1/1024.

В данном примере представим слагаемые в следующем виде:

¼ = 1/2 - ¼,

1/8 = ¼ - 1/8,

1/16 = 1/8 - 1/16,

И так далее,

1/1024 = 1/512 - 1/1024.

Теперь подставим слагаемые в представленном виде в исходный пример:

1+1/2+1/4 + 1/8 + ... + 1/1024 = 1 + ½ + ½ - ¼ + ¼ - 1/8 + 1/8 - 1/16 + 1/16 - ... - 1/512 + 1/512 - 1/2014.

Можно заметить, что слагаемые - 1/4 и ¼, - 1/8 и 1/8 и так далее, уничтожаются.

Значит, перепишем:

1 + ½ + ½ - 1/2014 = 1 + 1 - 1/1024 = (2*1024 - 1) / 1024 = 2047/1024.