Как разложить на сумму простых дробей х/х^3-1

Разложим дробь x / (x^3 - 1) на сумму простых дробей.

x / (x^3 - 1) = x / (x^3 - 1^3) = x / ((x - 1) * (x^2 + x * 1 + 1^2)) = x / ((x - 1) * (x^2 + x + 1);

Используем метод разложения на простейшие:

А / (x - 1) + (В * х + С) / (x^2 + x + 1);

(A (x^2 + x + 1) + (B * x + C) * (x - 1)) / ((x - 1) * (x^2 + x + 1));

x = A (x^2 + x + 1) + (B * x + C) * (x - 1);

x^2: A + B = 0;

x: A - B + C = 0;

1: A - C = 0;

Отсюда получаем:

А = 1/3;

B = - 1/3;

C = 1/3;

Значит, x / (x^3 - 1) = (1/3) / (x - 1) + (-1/3 * x + 1/3) / (x^2 + x + 1).