найдите наименьшее натуральное х удовлетворяющее неравенству / х+1/+/х-4/>7

|х + 1| + |х - 4| > 7.

Определим значения х, при которых модули будут менять знак:

х + 1 = 0; х = - 1.

х - 4 = 0; х = 4.

Получаются три промежутка: (-∞; - 1), (-1; 4) и (4; + ∞).

Раскрываем модули на каждом промежутке в соответствии со знаком модуля:

1) (-∞; - 1) оба модуля (-):

(-х - 1) + (-х + 4) > 7.

-х - 1 - х + 4 > 7.

-2x + 3 > 7.

-2x > 4.

x < - 2 (знак перевернулся, потому что делили на - 2, на отрицательное число).

Объединяем промежуток и решение неравенства: (-∞; - 1) и x < - 2.

Решение: х ∈ (-∞; - 2).

2) (-1; 4) первый модуль (+), второй (-).

(х + 1) + (-х + 4) > 7.

х + 1 - х + 4 > 7.

5 > 7 (неверное неравенство, нет решений).

3) (4; + ∞) оба модуля (+).

(х + 1) + (х - 4) > 7.

х + 1 + х - 4 > 7.

2x - 3 > 7.

2x > 10.

x > 5.

Объединяем промежуток и решение неравенства: (4; + ∞) и x > 5.

Решение: х ∈ (5; + ∞).

Ответ: х ∈ (-∞; - 2) U (5; + ∞).