Сколько всего различных замкнутых ломаных можно построить с вершинами в точках ABCD

Для решения этой задачи сначала надо определить сколько незамкнутых ломаных можно построить с вершинами в точках abcd.

Количество незамкнутых ломаных линий

Количество незамкнутых ломаных линий можно определить как число перестановок из четырех элементов a, b, c, d.

P = 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24;

Это соотношение описывает все возможные пути из точек a, b, c и d.

При этом получилось, что все ломаные мы посчитали дважды. Например, ломаные аbcd и dcba это одна и та же ломаная, проведенная в разных направлениях.

Следовательно, число незамкнутых ломаных будет в два раза меньше - 12.

Количество замкнутых ломаных линий

Когда мы замкнем эти линии, то получится, например, что abcd, bcda, cdab, dabc - это одна и та же замкнутая ломаная, то есть количество ломаных при этом сократилось ещё в четыре раза. Значит всего будет 12/4 = 3 замкнутых ломаных линии с вершинами в точках abcd.

Это будут:

Ломаная abcd и три циклические перестановки вершин. Ломаная acbd и три циклические перестановки вершин. Ломаная adbc и три циклические перестановки вершин.

Можно проверить, что других замкнутых ломаных линий построить не удастся.

Ответ: 3.