Корень из 5x-4 плюс корень из 2x-1 = корень из 3x + 1

Сначала найдем область допустимых значений уравнения √ (5x - 4) + √ (2x - 1) = √ (3x + 1).

Выражения под корнями должны быть неотрицательными, следовательно:

5x - 4 ≥ 0, что равносильно x ≥ 4/5;

2x - 1 ≥ 0, что равносильно x ≥ 1/2;

3x + 1 ≥ 0, что равносильно x ≥ 1/3.

Из трех неравенств следует, что область допустимых значений: x ≥ 4/5.

√ (5x - 4) + √ (2x - 1) = √ (3x + 1) равносильно:

[√ (5x - 4) + √ (2x - 1) ]² = [√ (3x + 1) ]².

(5x - 4) + (2x - 1) + 2 * √ (5x - 4) * √ (2x - 1) = (3x + 1)

4x - 6 + 2 * √ (10x² - 13x + 4) = 0.

2 * √ (10x² - 13x + 4) = 6 - 4x.

Отсюда: (10x² - 13x + 4) * 4 = (6 - 4x) ².

40x² - 52x + 16 = 16x² - 48x + 36.

24x² - 4x - 20 = 0.

6x² - x - 5 = 0.

D = 1² - 4 * 6 * (-5) = 1 + 120 = 121.

x1 = (1 + √121) / (6 * 2) = (1 + 11) / 12 = 12 / 12 = 1 (удовлетворяет x ≥ 4/5).

x2 = (1 - √121) / (6 * 2) = (1 - 11) / 12 = - 10 / 12 = - 5/6 (не удовлетворяет x ≥ 4/5).

То есть уравнение имеет один корень x = 1.

Ответ: x = 1.