Доказать, что при любом целом m число m (m+1) (2m+1) делится нацело на 6

m (m+1) (2m+1)

Чтобы число делилось на 6, нужно чтобы оно делилось на 2 и на 3 одновременно.

Заметим, что множители m (m + 1) при любом целом числе делятся на 2, так как если число m нечётно, тогда m + 1 будет чётным, если же число m чётное, то множители тоже делятся на 2 так как есть чётный множитель.

Докажем, что число делится на 3.

1) Число m делится на 3. Тогда всё выражение кратно 3, ведь есть множитель кратный 3.

2) Число m при делении на 3 даёт остаток 1. Тогда его можно представить в виде 3x + 1, где х - целое число. Третий множитель при таком m представим в виде 6x + 3, всегда кратно 3.

3) Число m при делении на 3 даёт остаток 2. Представим его в виде 3 у + 2. Вторая скобка будет равна 3 у + 3, что всегда кратно 3.

В результате при любом m число кратно 6.