9x^2+12x+4/x-6 больше или равно 0 (x+2) (x-3) (x-4) / (x-2) ^2 больше 0 (x-3) ^10 (x-1) ^9x^4 (x+2) меньше или равно 0

1) (9x^2 + 12x + 4) / (x - 6) > = 0.

Разложим числитель на множители:

9x^2 + 12x + 4 = 9 (х - х₁) (х - х₂).

a = 9; b = 12; c = 4;

D = b^2 - 4ac; D = 12^2 - 4 * 9 * 4 = 144 - 144 = 0 (один корень).

x = (-b) / 2a; х = (-12) / (2 * 9) = - 12/18 = - 2/3.

Получается, что 9x^2 + 12x + 4 = 9 (х + 2/3) ^2 = 3 * 3 * (х + 2/3) * (х + 2/3) = (3 х + 2) ^2.

Неравенство приобретает вид:

(3 х + 2) ^2 / (x - 6) > = 0.

Так как числитель всегда положительный при любых значениях х (квадрат числа всегда положительный), значит знаменатель тоже положительный (неравенство имеет знак > = 0).

x - 6 > 0; х > 6.

Ответ: х принадлежит промежутку (6; + ∞).

2) (x + 2) (x - 3) (x - 4) / (x - 2) ^2 > 0.

Знаменатель положительный (квадрат числа всегда положительный), значит, числитель тоже положительный, так как вся дробь > 0.

(x + 2) (x - 3) (x - 4) > 0.

Найдем корни неравенства:

х + 2 = 0; х = - 2.

х - 3 = 0; х = 3.

х - 4 = 0; х = 4.

Отмечаем на числовой прямой точки - 2, 3 и 4, выделяем дугами интервалы, расставляем знаки каждого интервала, начиная в крайнего правого (+), а потом чередуя плюс и минус.

(-) - 2 (+) 3 (-) 4 (+).

Так как знак неравенства > 0, то ответом будут интервалы, где стоит знак (+).

Решением неравенства будут промежутки (-2; 3) и (4; + ∞).

3) (x - 3) ^10 * (x - 1) ^9 * x^4 * (x + 2) < = 0.

Разберем каждый множитель:

(x - 3) ^10 всегда положительный (степень четная).

x^4 всегда положительный (четная степень).

Значит, (x - 1) ^9 * (x + 2) < = 0.

Найдем корни неравенства:

x - 1 = 0; х = 1.

х + 2 = 0; х = - 2.

Отмечаем на числовой прямой точки - 2 и 1, выделяем дугами интервалы, расставляем знаки каждого интервала, начиная в крайнего правого (+), а потом чередуя плюс и минус.

(+) - 2 (-) 1 (+).

Так как знак неравенства < = 0, то ответом будут интервалы, где стоит знак (-).

Решением неравенства будет промежуток [-2; 1].