X^2 - |x| - 9 / (|x| - 1) <=0

(х² - |x| - 9) / (|x| - 1) ≤ 0.

Определим значение х, где модуль меняет знак: х = 0.

1) х > 0. Раскрываем модули со знаком (+).

(х² - x - 9) / (x - 1) ≤ 0.

Дробь тогда меньше нуля, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки. Получается две системы: х² - x - 9 ≤ 0; х - 1 > 0 (а) и х² - x - 9 ≥ 0; х - 1 < 0 (б).

а) х² - x - 9 ≤ 0; х - 1 > 0 (х > 1).

Рассмотрим функцию у = х² - x - 9, это кв. парабола, ветви вверх.

Найдем нули функции: у = 0; х² - x - 9 = 0.

D = 1 + 36 = 37 (√D = √37).

х₁ = (1 - √37) / 2 (~ - 2,5).

х₂ = (1 + √37) / 2 (~ 3,5).

Так как неравенство имеет знак ≤, то решением неравенства будет участок, где парабола находится ниже оси х, то есть [ (1 - √37) / 2; (1 + √37) / 2].

Объединяем со вторым неравенством х > 1, решение системы: (1; (1 + √37) / 2].

б) х² - x - 9 ≥ 0; х - 1 < 0 (х < 1).

Корни параболы равны:

х₁ = (1 - √37) / 2 (~ - 2,5).

х₂ = (1 + √37) / 2 (~ 3,5).

Так как неравенство имеет знак ≥, то решением неравенства будут участки, где парабола находится выше оси х, то есть (-∞; (1 - √37) / 2] и [ (1 + √37) / 2; + ∞).

Объединяем со вторым неравенством х 0.

2) х < 0. Раскрываем модули со знаком (-).

(х² + x - 9) / (-x - 1) ≤ 0.

Получается две системы: х² + x - 9 ≤ 0; - х - 1 > 0 (а) и х² + x - 9 ≥ 0; - х - 1 < 0 (б).

а) х² + x - 9 ≤ 0; - х - 1 > 0.

Рассмотрим функцию у = х² + x - 9, это кв. парабола, ветви вверх.

Найдем нули функции: у = 0; х² + x - 9 = 0.

D = 1 + 36 = 37 (√D = √37);

х₁ = (-1 - √37) / 2 (~ - 3,5).

х₂ = (-1 + √37) / 2 (~ 2,5).

Так как неравенство имеет знак ≤, то решением неравенства будет участок, где парабола находится ниже оси х, то есть [ (-1 - √37) / 2; (-1 + √37) / 2].

Объединяем со вторым неравенством - х - 1 > 0, х < - 1, решение системы: [ (-1 - √37) / 2; - 1).

б) х² + x - 9 ≥ 0; - х - 1 < 0.

Корни параболы равны:

х₁ = (-1 - √37) / 2 (~ - 3,5).

х₂ = (-1 + √37) / 2 (~ 2,5).

Так как неравенство имеет знак ≥, то решением неравенства будут участки, где парабола находится выше оси х, то есть (-∞; (-1 - √37) / 2] и [ (-1 + √37) / 2; + ∞).

Объединяем со вторым неравенством - х - 1 - 1, решение системы: [ (-1 + √37) / 2; + ∞) не входит в промежуток x < 0.

Ответ: х принажлежит промежуткам [ (-1 - √37) / 2; - 1) и (1; (1 + √37) / 2].