Докажите, что площадь равностороннего треугольника равна √3*a²/4, где а - это сторона треугольника.

В равностороннем треугольнике все стороны равны, углы равны, а высота, опущенная на любую из сторон из противолежащего угла, делит эту сторону пополам.

Пусть сторона треугольника - a, высота - h.

После проведения высоты образовались 2 одинаковых прямоугольных треугольника.

И высоту в прямоугольном треугольнике можно найти следующими способами:

1) Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузе (a/2) ² + h² = a².

Откуда получаем, что h = a√3/2.

2) sin 60° - это отношение противолежащего катета h к гипотенузе a.

sin 60° = h/a.

h = a * sin 60° = a√3/2.

Площадь прямоугольного треугольника определяется как половина произведения двух катетов h и a/2.

S_{пр. уг.} = ½ * h * a/2 = ½ * a√3/2 * a/2 = a² √3/8.

Площадь равностороннего треугольника будет равна двух площадям прямоугольного треугольника.

S = 2 * S_{пр. уг.} = 2 * a² √3/8 = a² √3/4.

Ответ: площадь равностороннего треугольника со стороной a равна a² √3/4.