Найти все натуральные числа n при которых значение дроби 3n/n-2 будет целым

Запишем 3 * n / (n - 2) = к, где к - некоторое целое число. Станем анализировать полученное выражение, преобразовав его.

= к * (n - 2); 3 * n - к * n = - 2 * к; n * (к - 3) = 2 * к;

Найдём отсюда n: n = 2 * к / (к - 3). (1) Для того, чтобы выражение (1) было целым нужно найти такие к, чтобы к / (к - 3) было целым. Ясно, что к кратно числу 3, но не равно 3, или (к - 3) = 2, к = 5, а n = 5.

Путь к = 6: n = 2 * 6 / (6 - 3) = 2 * 6/3 = 4.

При к = 9: n = 2 * 9 / (9 - 3) = 2 * 9/6 = 3.

При больших к, например к = 12 целых чисел не получится.

Ответ: n = 3, n = 4, n = 5.