Докажите что при любом натуральном значении n значение виражения n⁷-n кратное 42

Разложим выражение на множители:

n^7 - n = n * (n^6 - 1) = n * (n^3 - 1) * (n^3 + 1) =

= n * (n - 1) * (n^2 + n + 1) * (n^3 + 1).

Разложим на простые множители 42 = 2 * 3 * 7.

Если докажем, что выражение делится на 2, 3 и 7, то задача будет решена.

Очевидно, что выражение делится на 2, т. к. одно из чисел n или (n - 1) делится на 2.

Если n = 3 * k, то выражение делится на 3.

Если n = 3 * k + 1, то n - 1 = 3 * k и выражение делится на 3.

Если n = 3 * k + 2, то рассмотрим n^3 + 1:

(3 * k + 2) ^3 + 1 = (3 * k) ^3 + 3 * (3 * k) ^2 * 2 + 3 * (3 * k) * 2^2 + 2^3 + 1 = (3 * k) ^3 + 3 * (3 * k) ^2 * 2 + 3 * (3 * k) * 2^2 + 9 и значит делится на 3.

Если n = 7 * k и n = 7 * k + 1, то выражение делится на 7.

Пусть n = 7 * k + r и подставим в n^2 + n + 1:

(7 * k + r) ^2 + 7 * k + r + 1 = 49 * k^2 + 14 * k * r + r^2 + 7 * k + r + 1 = 7 * N + r^2 + r + 1.

При r = 2, r^2 + r + 1 = 7.

При r = 3, r^2 + r + 1 = 14.

При r = 4, r^2 + r + 1 = 21.

делится на 7. Осталось проверить делимость на 7 при r = 5, 6.

n^3 + 1 = (7 * k + r) ^3 + 1 = (7 * k) ^3 + 3 * (7 * k) ^2 * r + 3 * (7 * k) * r^2 + r^3 + 1 = 7 * N + r^3 + 1.

При r = 5, r^3 + 1 = 126 = 7 * 18,

При r = 6, r^3 + 1 = 217 = 7 * 31, значит делится на 7.

Мы рассмотрели все возможные случаи. Утверждение доказано.