Х^5+x^4+3x^3+3 х^2+2x+2=0

Решение: Разложим данное уравнение на множители способом группировки. Получим:

х ⁵ + x ⁴ + 3 x ³ + 3 х ² + 2 x + 2 = 0,

(х ⁵ + x ⁴) + (3 x ³ + 3 х ²) + (2 x + 2) = 0,

Вынесем общие множители за скобки. Получим:

x ⁴ (х + 1) + 3 х ² (х + 1) + 2 (х + 1) = о,

Теперь вынесем выражение (х + 1) как общий множитель. Получим:

(х + 1) (x ⁴ + 3 х ² + 2) = 0.

Произведение нескольких множителей равно нулю тогда, когда хотя бы из множителей равен нулю. Получим:

(х + 1) = 0 или (x ⁴ + 3 х ² + 2) = 0.

Решим уравнение х + 1 = 0,

х = - 1.

Решим уравнение x ⁴ + 3 х ² + 2 = 0. Пусть х ² = а, тогда получим квадратное уравнение:

а ² + 3 а + 2 = 0.

Данное уравнение является полным приведённым квадратным уравнением, так как старший коэффициент а = 1.

D = b ² - 4 * а * с = 3² - 4 * 1 * 2 = 9 - 8 = 1.

Так как дискриминант положителен, то данное квадратное уравнение имеет два корня.

а₁ = ( - b + √D) / 2 а = ( - 3 + √1) / 2 * 1 = ( - 3 + 1) / 2 = - 2 / 2 = - 1.

а₂ = ( - b - √D) / 2 а = ( - 3 - √1) / 2 * 1 = ( - 3 - 1) / 2 = - 4 / 2 = - 2.

Вернемся к замене переменной. Получим:

х ² = - 1 - нет корней,

х ² = - 2 - нет корней.

Таким образом, уравнение х ⁵ + x ⁴ + 3 x ³ + 3 х ² + 2 x + 2 = 0 имеет единственный корень х = - 1.

Ответ: х = - 1.