1²-2²+3²-4² + ... + 99²-100²+101²=

Воспользуемся формулами сокращенного умножения, а именно - применим формулу разности квадратов a²-b² = (a-b) (a+b).

1²-2² = (1-2) (1+2) = - 3

3²-4² = (3-4) (3+4) = - 7

5²-6² = (5-6) (5+6) = - 11

...

99²-100² = (99-100) (99+100) = - 199

Числа - 3, - 7,-11 представляют собой арифметическую прогрессию, первый член которой - 3, а знаменатель равен - 7 - (-3) = - 4.

Чтобы найти сумму членов этой прогрессии от - 3 до - 199 определим количество ее членов.

Для этого определим номер члена - 199 по формуле:

an = a1+d (n-1)

-199 = - 3-4 (n-1)

4 (n-1) = 196

n-1 = 49

n=50

Воспользуемся формулой суммы n первых членов арифметической прогрессии:

Sn = ((2a1+d (n-1) / 2) * n

S50 = (2 * (-3) - 4*49) / 2) * 50 = - 5050.

Прибавим к этому значению 101²

-5050 + 101² = - 5050+10201 = 5151.

Ответ: 5151